プール

これもおそらく激遅ですが、S君に教えてもらった問題。

http://www.yomiuri.co.jp/kyoiku/news/20061129ur01.htm

監視員が正方形プール（１０メートル四方）の角にいて、プールの縁は秒速２メートル、水中は同１メートルで移動する。スタートからプール内で最も移動に時間のかかる場所まで、何秒で着くか

初等幾何で解こうと思ってすぐにはわからず、S君に図だけ見せてもらってしまったのですが、あの図ははじめの議論でしかなくて、最後まで解けないような…？＞S君

というわけで考えた答え。いや、これも検索すればきっと既出ですが…

A(0,0), B(10,0), C(10,10), D(0,10)とする。三角形ABC内のCに近い点Pまで行きたいとする（それ以外の場合については省略）。ABを斜辺とし、∠A = 30°, ∠B = 60°なる直角三角形ABEをABの下に書く。監視員がAB上から泳ぎ始める場合の最小合計所要時間t1は、点Pから直線AEまでの距離になる（理由は自明なので省略）。同様に、BCを斜辺とし、∠B = 30°, ∠C = 60°なる直角三角形BCFをBCの右に書く。さらに、BFの右下に、BH = FG = 5メートルなる長方形BFGHを書く。すると、監視員がAからBまで走り、BC上から泳ぎ始める場合の最小合計所要時間t2は、点Pから直線GHまでの距離になる。したがって、min(t1,t2)が最大となるPは、AEとGHの交点Iについて、∠AIGの二等分線と対角線ACとの交点になる。そのようなPに対し、PからAIに下ろした垂線の足をQとし、PQの長さをxとする。するとAQ = AE + EI - IQ = 5√3 + 5 - x。三角形APQは15°, 75°, 90°の直角三角形なので、AQ : PQ = (5√3 + 5 - x) : x = (√6 - √2) : (√6 + √2) = (√3 - 1) : (√3 + 1)。この方程式を解けばxが求める。